.ვთქვათ H არის ABC მახვილკუთხა სამკუთხედის ორთოცენტრი. წრეწირი,რომლის ცენტრი არის AB გვერდის შუაწერტილი და გადის H-ზე, AB გვერდს კვეთს C_{1} და C_{2} წერტილებში. ანალოგიურადაა განსაზღვრული A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2} წერტილები.
დაამტკიცეთ,რომ A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1} და C_{2} წერტილები ერთ წრეწირზეა. 2.(ა)დაამტკიცეთ,რომ
x^{2}/(x-1)^{2} + y^{2}/(y-1)^{2} + z^{2}/(z-1)^{2} >=1,სადაც x,y და z ერთისაგან განსხვავებული ნამდვილი რიცხვებია და xyz=1.
(ბ)დაამტკიცეთ, რომ ტოლობა სრულდება უსასრულოდ ბევრი ისეთი (x,y,z) რაციონალურ რიცხვთა სამეულისათვის, რომელთა ნამრავლიც 1-ია.
3. დაამტკიცეთ, რომ არსებობს უსასრულოდ ბევრი ისეთი ნატურალური რიცხვი n, რომელთათვისაც რიცხვს n^{2}+1 ექნება 2n+ფესვი{2n} -ზე უფრო დიდი მარტივი გამყოფი.
4.იპოვეთ ყველა f: (0,+უსასრ.)-->(0,+უსასრ.) ფუნქცია, რომელთათვისაც (f(w)^{2} + f(x)^{2})/(f(y^{2}) + f(z^{2}))= (w)^{2} + x^{2})/(y^{2} + z^{2}) სრულდება ნებისმიერი w, x, y, z დადებითი ნამდვილი რიცხვებისათვის, რომლებიც აკმაყოფილებენ ტოლობას wx=yz.
5.ვთქვათ n და k ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ k>=n და k-n ლუწი რიცხვია. გვაქვს 2n ცალი ნათურა გადანომრილი რიცხვებით 1,2,...,2n. თითოეული ნათურა შეიძლება იყოს შემდეგი 2 მდგომარეობიდან ერთ-ერთში: ჩართული(ანთებული) ან გამორთული
(ჩამქვრალი).დასაწყისში ყველა ნათურა გამორთულია. განიხილება ნაბიჯების დალაგებული მიმდევრობები: ყოველ ნაბიჯზე ზუსტად ერთი ნათურა იცვლის მდგომარეობას საპირისპიროზე(ჩართულიდან გამორთულზე ან გამორთულიდან ჩართულზე).
ავღნიშნოთ N-ით რაოდენობა ისეთი მიმდევრობებისა, რომლებიც მიგვიყვანენ ისეთ სიტუაციამდე, რომ ყველა ნათურა ნომრებით 1,2,...,n იქნება გამორთული, ხოლო ყველა ნათურა ნომრებით n+1,n+2,...,2n იქნება გამორთული.
ავღნიშნოთ M-ით რაოდდენობა ისეთი მიმდევრობებისა, რომლებიც
მიგვიყვანენ ისეთ სიტუაციამდე, რომ ყველა ნათურა ნომრებით 1,2,...,n იქნება გამორთული, ხოლო ყველა ნათურა ნომრებით n+1,n+2,...,2n იქნება გამორთული, მაგრამ ამასთან ერთად არცერთი ნათურა ნომრებით n+1,n+2,...,2n არცერთხელ არ იცვლიდა თავის მდგომარეობას.
იპოვეთ N/M შეფარდების სიდიდე.
6.ვთქვათ ABCD ამოზნექილი ოთხკუთხედია, რომელშიც BA არ უდრის BC-ს. w1-ით და w2-ით ავღნიშნოთ შესაბამისად ABC და ADC სამკუთხედებში ჩახაზული წრეწირები. დავუშვათ, რომ არსებობს w წრეწირი, რომელიც ეხება BA მონაკვეთის გაგრძელებას A წერტილიდან, BC მონაკვეთის გაგრძელებას C წერტილიდან და ეხება AD და CD წრფეებს. დაამტკიცეთ, რომ w1და w2 წრეწირების საერთო გარე მხებები იკვეთებიან w წრეწირზე.
