IMO 2006 Slovenia:
amocana 1. vTqvaT ABC samkuTxedSi I aris Caxazuli wrewiris centri. P wertili aris ABC samkuTxedis SigniT da (kuTxe)PBA + (kuTxe)PCA=(kuTxe)PBC+(kuTxe)PCB.
aCveneT, rom AP>=AI da tolobas adgili aqvs maSin da mxolod maSin, Tu P=I. amocana 2. vTqvaT, P aris wesieri 2006-kuTxedi. mis diagonals ewodeba "kargi", tu misi boloebi P-s sazRvars yofs or nawilad, romelTagan TiToeuli Sedgeba kenti raodenobis gverdebisagan. P-s gverdebs aseve ewodebaT kargi.
vTqvat, P dayofilia samkuTxedebad 2003 raodenobis diagonalebiT, romelTagan arcerT ors ara aqvs saerTo wertili P-s SigniT. ipoveT aseTi wesiT dayofisas , maqsimaluri raodenoba im tolferda samkuTxedebisa, romelTac aqvT ori kargi gverdi.
amocana 3. ipoveT umciresi namdvili ricxvi M, romlisTvisac utoloba
| ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) | <= M (a^2+b^2+c^2)^2
sruldeba yoveli a,b,c namdvili ricxvebisaTvis.
amocana 4. ipoveT (x;y) mTel ricxvTa yvela iseTI wyvili, romlistvisac 1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2.
amocana 5. vTqvaT P(x) aris n>1 xarisxis mravalwevri mTeli koeficientebiT, xolo k-nebismieri naturaluri ricxvi. ganvixiloT mravalwevri
Q(x)=P(P(...P(x))).
aq P gamoyenebulia k-jer. daamtkiceT, rom arsebobs araumetes n raodenoba iseTi mTeli t ricxvebisa, romelTaTvisac Q(t)=t.
amocana 6. amozneqili P mravalkuTxedis yovel b gverds Seesabameba udidesi im farTobebs Soris, romelic aqvT samkuTxedebs, moTavsebulebs P-s SigniT da romelTa erTi gverdi emTxveva P-s.
daamtkiceT, rom farTobebis jami, romelic Seesabameba P-s yvela gverds ar aris naklebi P-s gaorkecebul farTobze.
