ამორჩევის აქსიომა, ლოგიკური (მათემატიკური) ხასიათის დებულება გარკვეული ფუნქციის ან სიმრავლის არსებობის შესახებ, რომელსაც ფარულად, არაცნობიერად იყენებდნენ მნიშვნელოვან მათემატიკურ დებულებათა დასასაბუთებლად.
ამორჩევის აქსიომა არ არის აქსიომა იმ გაგებით, რომ იგი აშკარაა და მას დამტკიცება არ სჭირდება. იგი აქსიომად არის მიჩნეული, რადგან მისი ან მისი საწინააღმდეგოს დამტკცება შეუძლებელია. შესაბამისად სიმრავლეთა თეორიაში მომუშავე მათემატიკოსებს უწევთ ამორჩევის აქსიომის, ან მისი საპირისპირო მოსაზრების აქსიომად მიღება.
თვითონ აქსიომა შემდეგში დგომარეობს: თუ გვაქვს ნებისმიერი (მათ შორის უსასრულო) რაოდენობის სიმრავლე, რომელთაგან თითოეული არაცარიელია (ანუ თვითოეულიდან შეგვიძია ავარჩიოთ ერთი ელემენტი), მაშინ არსებობს ფუნქცია, რომელიც თითოეულ სიმრავლეს ამ სიმრავლიდან ამორჩეულ ერთ-ერთ ელემენტს შეუსაბამებს.
თუ გვაქვს სასრული რაოდენობის სიმრავლე, მაშინ ამორჩევის აქსიომა არც კი არის საჭირო. უბრალოდ თუ თითოეული სიმრავლიდან ეგვიძლია ავარჩიოთ ერთი ელემენტი, მაშინ ჩამოვუყვეთ სიმრავლეებს და თითო სიმრავლიდან ავარჩიოთ თითო ელემენტი. სასრულ დროში გვექმება ცხრილი, რომელიც თითოეული სიმრავლისთვის მის ელემენტს მოგვცემს. ანუ მათემატიკურ ენაზე გვექნება ფუნქცია.
სირთულეები მაშინ იქმნება, როცა საქმე გვაქვს უსასრულო რაოდენობის სიმრავლეებთან, მაშინ ასეთი მარტივი მიდგომა აღარ გამოდგება და ასეთი ფუნქციის არსებობის დასამტკიცებლად ამორჩევის აქსიომის გამოყენება დაგვჭირდება.
ბევრს შეიძება მოეჩვენოს, რომ ამორჩევის აქსიომა აშკარაა, რადგან თუ თითო სიმრავლიდან თითო ელემენტის ამორჩევა შეგვიძლია, რატომ არ უნდა შეგვეძოს ყველა სიმრავლიდან თითოს ამორჩევა.
ამ ამორჩევის სირთულისა და ამორჩევის აქსიომის საჭიროების კარგი მაგალითია ნამდვილ რიცხვთა ყველა არაცარიელი სიმრავლის ქვესიმრავლე. მართლაც განმარტებით ყველა ეს სიმრავლე არაცარიელია, ანუ თითოეულიდან შეგვიძლია ერთი მაინც ელემენტი ამოვარჩიოთ. მაგრამ ჯერ ვერავინ ვერ მოახერხა (და აქსიომის ლოგიკური დამოუკიდებლობის გამო ალბათ ვერ ვერავინ მოახერხებს) იისეთი ფუნქციის დაწერა, რომელიც თითოეული ამ სიმრავლიდან ერთ ელემენტს ამოარჩევს.
სიმრავლეთა თეორიის განვითარების საწყის ეტაპზე მათემატიკოსებს ამორჩევის აქსიომა ისეთი აშკარა ეგონათ, რომ მის ჩამოყალიბებაზეც არავინ დაფიქრებულა, არათუ დამტკიცებაზე. ეს გასაგებიც იყო, რადგან სასრული რაოდენობის სიმრავლის შემთხვევაში პრობლემა არ იქმნებოდა, ამიტომ უმეტესობა ბუნებრივად მიიჩნევდა, რომ უსასრულო შემთხვევაც მსგავსი უნდა ყოფილიყო.
1904 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა ერნსტ ცერმელომ პირველად ჩამოაყალიბა ეს აქსიომა, დაზუსტებული სახით. მიუხედავად იმისა, რომ რამდენიმე მათემატიკოსს ნახსენები ჰქონდათ თავის ნაშრომებში, რომ ისინი ასეთი სახის დაშვებას აკეთებდნენ, ცერმელო მაინც ამ ამორჩევის აღმომჩენად ითვლება და აქსიომას ზოგჯერ ცერმელოს აქსიომადაც მოიხსენებენ.
ცერმელომ ეს აქსიომა (როგორც ახლა უკვე ვიცით ამ აქსიომის ექვივალენტური) თეორემის - დალაგების პრინციპის დაასმტკიცებლად გამოიყენა. ამან ზოგიერთი მათემატიკოსის პროტესტი გამოიწვია, რადგან მათი აზრით აქსიომა არც ისე აშკარა იყოს, რომგორც ერთი შეხედვით ჩანდა. ცერმელომ მიუთითა, რომ ბოლო პერიოდის მათემატიკის ბევრი ნაშრომი სწორად ამ აქსიომას აყრდნობოდა.
მე-20 საუკუნის პირველ ნახევარში კურტ გოდელის და პაულ კოჰენის შრომების წყალობით დამტკიცდა, რომ ცერმელო ფრენკელის აქსიომებიდან ამორჩევის აქსიომის ან მისი საპირისპიროს დამტკიცება შეუძლებელია. ანუ ამორჩევის აქსიომა ლოგიკურად დამოუკიდებელია ამ ცერმელო ფრენკელის სიმრავლეთა თეორიის სხვა აქსიომებისგან.
დღეს არსებობს ბევრი სხვადასხვა ალტერნატიული ვარიანტი სიმრავლეთა თაორიის აქსიომატიზაციის, რომელთაგან ზოგიერთში მიღებულია ამორჩევის აქსიომა, ზოგიერთში კი მისი საპირისპირო აქსიომებიდან რომელიმე.
მას შემდეგ რაც დამტკიცდა, რომ ამორჩევის აქსიომა (ისევე, როგორც ზოგიერთი სხვა ჰიპოთეზა, მაგალითად უწყვეტობის ჰიპოთეზა) დამოუკიდებელია სხვა აქსიომებიდან და ორივე თეორია (სიმრავლეთა თეორია ამორჩევის აქსიომით და სიმრავლეთა თერია ამორჩევის აქსიომის საწინააღმდეგო აქსიომით) თავსებადია, ბევრი მათემატიკოსი დაფიქრდა იმაზე თუ რომელ თეორიაში გაეგრძელებინა მუშაობა.
აქსიომას ჰყავდა ბევრი მომხრე მისი ინტუიციურობის გამო. თუმცა 1924 გამოქვეყნდა ბანახ-ტარსკის პარადოქსი რომელიც ამტკიცებდა, რომ თუ ამორჩევის აქსიომა მართალია, მაშინ შესაძლოა ბირთვი დავჭრად რამდენიმე ნაწილად ისეთნაირად, რომ შემდეგ ამ ნაწილებიდან ორი იგივე ზომის ბირთვი ავაწყოთ. ანუ არსებობენ სიმრავლეები (ბირთვის ნაწილები) რომლებზეც მოცულობის ცნების განმარტება შეუძებელია. მოცულობის განმარტება რომ შესაძლებელი იყოს ამ ნაწილებზე, მაშინ მოცულობის შენახვის გამო ერთი ბირთვიდან ორ იგივე ზომის ბირთვს ვერ მივიღებდით) ამ პარადოქსის გამო აქსიომას ბევრი მოწინააღმდეგე გამოუჩნდა, რადგან ერთი ბირთვისა და ორი ბირთვის ტოლობა ძალიან არაინტუიციური შედეგია.
დღეს არსებობენ მათემატიკოსთა მცირე ჯგუფები, რომლებიც გამოკვეთილად ეთანხმება ამორჩევის აქსიომას და თვლის რომ ეს აქსიომა უნივერსალურად უნდა იყოს მიღებული, როგორც სხვა აქსიომები. ასევე არსებობენ მცირე ჯგუფები - კონსტრუქტივისტები, რომლებიც თვლიან, რომ ამორჩევის აქსიომა, რომელიც ისეთ არაინტუიციურ შედეგებს იძლევა როგორც ბანახ-ტარსკის პარადოქსი, არასწორი უნდა იყოს.
თუმცა უმეტესობა მათემატიკოსებისა სიმრავლეთა თეორიის ორივე ვარიანტს განიხილავს. როდესაც რაიმე თეორიის დამტკიცება მოიძებნება ამორჩევის აქსიომის გამოყენებით, მათემატიკოსები ყოველთვის ცდილობენ იპოვონ ისეთი დამტკიცება, რომელიც არ მოითხოვს ამორჩევის აქსიომას (კოსტრუქტივისტებისთვის მხოლოდ ასეთი დამტკიცებაა მისაღები) ან დაამტკიცონ რომ ამორჩევის აქსიომის გარეშე ეს თეორემა არ მტკიცდება, ანუ თეორემა ამორჩევის აქსიომის ექვივალენტურია. (კონსტრუქტივისტებისთვის ეს თეორემის საპირისპიროს დამტკიცების ტოლფასია)
ბევრი შედეგი, რომელიც თავის დროზე ამორჩევის აქსიომის გამოყენებით დამტკიცდა, მისი ექვივალენტური აღმოჩნდა. ანუ აღმოჩნდა, რომ შეუძლებელია მათი დამტკიცება ამორჩევის აქსიომის გარეშე და თუ ამ თეორემების შედეგები სწორია, მაშინ ამორჩევის აქსიომაც სწორი ყოფილა.
|